Компендиум Лакановских Терминов / Топология: Лента Мёбиуса между Тором и Кросс-Кап

Натали Шару

Компендиум Лакановских Терминов, стр. 204-210

Топология поверхностей

Краткая история

То, что позже обретёт имя топология, впервые было упомянуто Лейбницем (1646-1716) как анализ размещения (analysis situs), и этот же термин позже получит своё развитие в работах Эйлера, особенно в его работах посвященных многогранникам. Вскоре этой новой геометрией позиций заинтересовался Гаусс (1777-1855), который поспособствовал тому, чтобы этой дисциплиной занялся его ученик Листинг (1808-92). Листинг ввёл в обращение термин топология для определения этой “квази-математической дисциплины”, которая собственно ещё не существовала: “Так как термин ‘геометрия’ не характеризует должным образом такую науку, из которой исключены понятия меры и величины, и так как выражение ‘геометрия позиций’ уже занято за другой дисциплиной, а наша наука всё ещё не существует, я буду пользоваться термином ‘топология’, который нахожу удачным” (Pont, 1974, p. 110). Также Листинг определяет эту дисциплину как “учение о модальных отношениях пространственных образов”, и добавляет: “Я убежден в том, что она требует строгого исследовательского метода”.

В 1858 году, одновременно с Мёбиусом (1790-1868), Листинг открывает одностроннюю поверхность. Соответствующий же вопрос о том, кто обладает приоритетом в открытии, был отставлен ввиду факта того, что эта синхрония не была свидетельством случайности судьбы, но являлась результатом указаний Гаусса, доставшихся двум его ученикам. Тем не менее, будущее поколение выбрало имя Мёбиуса для названия этой ленты, объяснение чему можно найти у Понта: “Для Листинга она была лишь вторичной формой, исключением по отношению к тому, что он изучал, чем-то смежным, а не соответствующим, его работе. Тогда как для Мёбиуса, чьё имя она и носит, эта лента была ‘необходимым и неотъемлимым элементом’” (Pont, 1974).

Лента Мёбиуса обладает необычным качеством: она является односторонней поверхностью. Она может быть получена путем скручивания одного конца прямоугольной полосы бумаги на 180 градусов и присоединения его к другому концу этой полосы бумаги. Мы можете непосредственно убедиться в её одностронности, если попробуете провести пальцем по ней до тех пор, пока не достигнете точки размещенной под вашей исходной позицией (Диаграмма 18).

диаграмма 18
Диаграмма 18

Теперь же попробуйте представить удвоение этой поверхности (состоящие из двух таких полосок бумаги, обладающих одним ребром), и воздух, который продувается между этими двумя полосками: эта поверхность становится сосудом, напоминающим воздушную камеру, собственно, тором (Диаграмме 19). Также возможна и обратная процедура — сжимание тора вопроизводит свёртку края ленты мёбиуса, сплющивая тор относительно этой линии и превращает его в двух-листную ленту Мёбиуса (Диаграмма 20). Как мы увидим далее, Лакан находит достойное применение подобных преобразований тора в ленту Мёбиуса в работе под названием “L’Étourdit” (Лакан, 1973).

Диаграмма 19
Диаграмма 19
Диаграмма 20
Диаграмма 20

Тор

Существует шутка о том, что тополог — это такой математик, который не видит разницы между спасательным кругом и чашкой кофе. Действительно, топология занимается такими трансформациями фигур, в которых нет места разрыву или восстановлению, а также которые служат идентификации “гомеоморфных” или топологически эквивалентных фигур; одна фигура может быть выведена из другой посредством подобной трансформации. Не нужно обладать сильным воображением, чтобы понять, что это справедливо для двух упомянутых выше объектов.

Топологическая трансформация — это взаимно однозначная и непрерывная в обе стороны (взаимо-непрерывная) операция. Топология является веткой математики, которая занимается свойствами, которые остаются неизменными при топологических трансформациях, как например, замкнутая линия. И хотя длина этой линии, собственна мера, может изменяться посредством такой трансформации, следовательно, свойство меры исключено из топологии.

Тор, таким образом, может быть определён компактной поверхностью, лишенная края и обладающая отверствием в себе. Согласно классификации поверхностей, компактные поверхности без края в обычном трёхмерном пространстве могут быть образованы путём склеивания конечного числа ручек со сферой с выколотой точкой. Тор является такой поверхностью, рода 1, так как его можно определить как сферу с одной ручкой (Диаграмма 21).

Диаграмма 21
Диаграмма 21

С другой стороны, тор может быть сгенерирован геометрическим образом посредством вращение круга (C1) вокруг оси, которая лежит вне его, но лежит в той же плоскости (Диаграмма 22). Лакан использует это свойство сгенерированности двумя кругами (С1 и C2, траекторией вращения) в “L’Étourdit” для того, чтобы различить в повторении искривления Требования и Желания (Лакан, 1973, p. 42-43). Стоит также напомнить, что Лакан использует тор в виде результате “инфляции” ленты Мёбиуса: тор = лента Мёбиуса + инфляция. Мы ещё к этому вернёмся.

Диаграмма 22
Диаграмма 22

Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса является односторонней поверхностью, она обрадает только одной стороной и только одним краем. Также она является неориентируемой поверхностью, так как даже если мы определим два направленных вектора (V1, V2) в тригонометричекой форме, которые будут скользить по её поверхности, то после одного оборота они будут направлены в противоположную сторону, то есть, исходное направление будет изменено на противоположное.

Ранее упомянутая поверхность (тор) в трёхмерном пространстве может быть ориентирована: добавление ручки к сфере не лишает её ориентированности. С другой стороны, лента Мёбиуса обладает особым свойством лишения сферы её ориентированности в случае выполнения следующей “пластической хирургии”: проделать отверствие в сфере удалив небольшой диск и затем, точка за точкой, определить край этого отверствия с единственным краем ленты Мёбиуса. Результатом такой операции будет лишенная края компактная поверхность, которая не может быть ни ориентирована, ни определена в трёхмерном пространстве. В зависимости от точки стояния эта поверхность может быть репрезентирована как проективная плоскость, кросс-кап (или плёнка Мебиуса) или поверхность Бойса. Как мы увидим далее, Лакан, главным образом, пользовался кросс-кап, что позволяло ему играть с присоединением диска к ленте Мёбиуса (упомянутая ранее сфера с выколотой точкой гомеоморфна диску), или же с разделением кросс-кап на ленту и на диск: кросс-кап = лента Мёбиуса + диск.

Топология Субъекта

Субъект — это не сфера

C самого начала своего учения, Лакан указывал на неверность репрезентации субъекта бессознательного как того, кто обладает внутренним и внешним, подобно сумке или сфере. Субъект, согласно Лакану, характеризуется тем, что то, что выглядит его наиболее интимным или же радикально внутренним, является одновременно чем-то радикально чуждым или же внешним ему. Стоит обратить внимание на то, что одним из первых определений бессознательного Лаканом было “дискурс другого”. Репрезентация его как сферы является неверной даже на уровне тела, так как черёз всё тело проходит пищеварительный тракт, и потому тор тут оказывается более подходящим образом — многие симптомы субъекта не могут быть пояснены без обращение к этой репрезентации.

Как указывалось ранее, в топологии поверхностей существует лишь несколько точек сравнений. На уровне воображаемого, пребывающего в рамках трёхмерного пространства (компактного), в нашем распоряжении оказывается только одна компактная поверхность — сфера с ручками, первой из которых является тор (ручка), который и оказывается отправным пунктом для Лакана в “L’Étourdit”, когда он скажет, что тор является структурой невротического субъекта. Посредством сжимания тора определенным образом образуется двуполосная лента Мёбиуса, которую Лакан называет “фальшивой” лентой Мёбиуса. Если провести разрез по ходу их сгиба и разделить эти две полосы, сдвинуть их вместе бок о бок и сшить, то полученная лента Мёбиуса будет обладать срединным швом. Этим швом-разрезом и характеризуется “истинная” лента Мёбиуса. Лакан пишет: “Тут проясняется то, что лента Мёбиуса является ничем иным, кроме как самим разрезом, разрезом, посредоством которого она исчезает из собственной поверхности” (Lacan, 1973, p. 27). Ввиду этого срединного разреза лента Мёбиуса действительно разворачивается в ленту в два раза длинее и с двумя скрученностями: с двумя краями и двумя сторонами. Ввиду этих двух скрученностей Лакан говорит о том, что она также обладает тремя “reels”, пользуясь терминологией Дезарга (французского математика семнадцатого века, открывшего проективную плоскость). И снова обратная может быть поведена обратная процедура: на основании этой двойной ленты может быть восстановлена лента Мёбиуса со срединным швом, после чего две полоски могут быть сведена друг над другом и образовать, таким образом, тор.

Отталкиваясь от тора можно получить только ленту Мёбиуса с помощью разреза, который станет её срединным разрезом, что и позволило Лакану написать: “Ergo разреза = лента Мёбиуса” (Lacan, 1973, p. 27).

Асфера или проективная плоскость

Согласно Лакану структура субъекта бессознательного как субъекта означающего, по факту, является лентой Мёбиуса — поверхностью записи, в которой передняя и задняя стороны являются одной продолжающейся стороной. Такая структура предлагает решение к проблеме двойной записи, так волновавшей Фрейда.

Как мы уже упоминали, существует ещё один способ дополнения ленты Мёбиуса: её край может быть сшит с диском или со сферой с выколотой точкой. Конечно же, можно также сшить вместе края двух лент Мёбиуса и образовать бутылку Кляйна. Благодаря таким операциям мы получим проективную поверхность Дезарга, или же, как говорилось ранее, кросс-кап. Как мы знаем, эта безкрайняя поверхность, чьё внешнее и внутренее слиты, не может быть ни репрезентировано, ни ориентирована в трёхмерном пространстве, она требует перемещения в четырёхмерное пространство. Несмотря на это, некоторые фигуры были предложны для репрезентации такой поверхности, в которой слиты внутренее и внешнее, без наличия какого-либо края. Лакан называет её асферой: “что примечательно в таком составном объекте как асфера является то, что будучи первоначально тором, что представляется наиболее легким способом демонстрации её происхождения, она приобрела свойство асферичности только посредством дополнения сферическим разрезом” (Lacan, 1973, p. 28).

Лакан настаивает на том, что в таком описании нет ничего метафорического, что оно касается самой сущности аналитического дискурса (Lacan, 1973, p. 28). Действительно, как только мы отвергаем репрезентацию субъекта в виде сферы, то оставшимися доступными поверхностями являются тор и проективная поверхность, которые образуются склеиванием ручки и ленты Мёбиуса, соответственно, со сферой. Последний вариант приводит к утрате сферой её ориентированности и подразумевает преодоление ленты Мёбиуса, что невозможно в трёхмерном пространстве.

С точки зрения психоанализа, лента Мёбиуса является нестабильной фигурой, всегда открытой к инфляции в тор (к воображаемому эго с внедрённым в него симтомом) или, наоборот, всегда открытой к дополнению себя диском (объект a). Объект а, таким образом, оказывается кросс-кап фантазии, с диском открытым к раздуванию (воображаемому). Следовательно эти две фигуры, которые по необходимости были сведены вместе в топологии поверхностей, соответствую двумя способом субъекта обходиться с отсутствием сексуальной отношений (связи).

Лакан писал: “Фрейд приводит нас к той точке, в которой секс определялся отсутствием-смысла (ab-sense): именно в этой инфляции отсутствия-секса-смысла (absex-sense) топология и определяется, в которой она и является словом, которое наносит разрез” (Lacan, 1973, p. 8). И, несомненно, некоторые комментарии или высказывания действуют как кольцевые разрезы, приводя к разрезу, шву или разделению (Lacan, 1973, p. 29).

Рабочий Набросок (Épure)

Достаточно внимательного взгляда на то, каким образом двухсторонняя лента превращается в ленту Мёбиуса, позволяя последней быть отождествленной с срединным разрезом, чтобы понять, что разрез как таковый является разрезом “без точек”, так как любая точка будет принадлежать как одной стороне, так и другой, и, соответственно, она находится нигде. Разрез — это “линия без точек” (Lacan, 1973, p. 27). Лакан представляет этот разрез параллельным другим разрезам ближе к краю (обращаясь к свойствам, описание которых выходит за рамки этой статьи), что позволяет ему определить структуру ленты Мёбиуса как серию линий без точек. Подобно тому как диск топологически эквивалентен точке, Лакан указывает, что лента Мёбиуса как серия линия без точек эквивалента одной линии без точек. Кросс-кап, таким образом, можно сравнить с диском, сведенным к вне-положенной-к-линии точке добавленной к линии без точек: “Вне-положенная-к-линии точка, покуда она дополняет линию без точек, производит то, что в топологии называют ‘кросс-кап’” (Lacan, 1973, p. 27).

Таким образом, структура субъекта может быть сведена к следующему рабочему наброску — к линии (без точек) дополненной точкой (вне-положенной-к-линии), к асфере.

 

Смотреть также: разрез, субъект

Литература:

Lacan, J. (1973) ‘L’Étourdit’, Scilicet 4, Paris: Le Seuil.

Pont, J.C. (1974) La Topologie algabrique des origines Poincar. Paris: Presses Universitaires de France.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *